При помощи математической индукции доказываем — для любого целого числа n, 3|5n, 6|5n

Доказывать кратность числа определенному делителю — это важное задание в математике, которое требует логического мышления и систематического подхода. В данной статье мы рассмотрим доказательство кратности числа n^3 + 5n числу 6.

Возьмем произвольное натуральное число n. Для доказательства кратности числа n^3 + 5n числу 6, необходимо показать, что это число делится на 6 без остатка.

Разложим выражение n^3 + 5n на множители: n(n^2 + 5). Теперь рассмотрим каждый множитель отдельно.

Первый множитель — n. Очевидно, что n делится на 6, так как любое натуральное число делится на 1, а значит, также делится на все числа, которые делятся на 1.

Второй множитель — n^2 + 5. Рассмотрим его отдельно. Для доказательства кратности данного множителя числу 6, необходимо показать, что оно также делится на 2 и на 3 без остатка.

Число n и его кратность

В данном случае, мы исследуем кратность числа n^3 + 5n числу 6. Для доказательства кратности, необходимо показать, что n^3 + 5n делится на 6 без остатка.

Чтобы рассмотреть все возможные значения числа n и его кратности, мы можем использовать примеры их комбинаций. Например:

  • n = 1: 1^3 + 5 * 1 = 1 + 5 = 6, что делится на 6 без остатка.
  • n = 2: 2^3 + 5 * 2 = 8 + 10 = 18, что делится на 6 без остатка.
  • n = 3: 3^3 + 5 * 3 = 27 + 15 = 42, что делится на 6 без остатка.

Таким образом, мы можем гипотезировать, что данное выражение n^3 + 5n всегда будет делиться на 6 без остатка, для любого целого числа n. Однако, для полной уверенности в этом, необходимо провести аналитическое доказательство, например, с помощью метода математической индукции.

Кратность числа — важное понятие в математике

Понятие кратности числа играет важную роль в математике. Оно помогает определить, делится ли одно число на другое без остатка. Если число n делится нацело на число m, то говорят, что число m кратно числу n.

В данной статье мы рассмотрим доказательство кратности числа n^3 + 5n числу 6.

Доказательство

Для начала заметим, что любое целое число можно представить в виде одного из трех возможных остатков при делении на 6: 0, 1 или 5.

Рассмотрим первый случай, когда число n имеет остаток 0 при делении на 6. Тогда число n^3 + 5n будет кратно числу 6, так как при возведении в степень четного числа оно остается четным, и при умножении четного числа на 5 получается четное число.

Теперь рассмотрим случай, когда число n имеет остаток 1 при делении на 6. Тогда число n^3 + 5n также будет кратно числу 6, так как при возведении в степень нечетного числа оно остается нечетным, и при умножении нечетного числа на 5 получается четное число.

Наконец, рассмотрим случай, когда число n имеет остаток 5 при делении на 6. В этом случае число n^3 + 5n также будет кратно числу 6. Можно заметить, что при возведении в степень нечетного числа остаток при делении на 6 будет равен 1 или 5, а при умножении нечетного числа на 5 получается четное число.

Таким образом, мы доказали, что число n^3 + 5n кратно числу 6 независимо от остатка числа n при делении на 6. Это следует из свойств четных и нечетных чисел при возведении в степень и умножении на 5.

Использование понятия кратности позволяет упростить доказательства и облегчить работу с числами в математике. Понимание и применение этого понятия является важной частью математической грамотности.

Кратность числа: что это означает?

Другими словами, если существует такое натуральное число k, что произведение числа, кратного другому числу, на k будет равно этому числу, то первое число считается кратным второму числу.

Например, число 6 кратно числу 3, так как при умножении 3 на 2 получим 6. Кратность числа имеет важное значение при решении задач в арифметике, алгебре и других математических областях.

Для доказательства кратности числа часто используются математические операции, такие как деление с остатком, факторизация и др. Определение кратности позволяет формулировать и доказывать различные свойства чисел и применять их в решении задач.

Понятие кратности числа также активно применяется в теории чисел, где изучаются свойства простых и составных чисел, простых делителей, множителей и других фундаментальных понятий.

Пример:

Рассмотрим число 12. Оно кратно числу 6, так как 12 можно разделить на 6 без остатка. Также число 12 кратно числу 3, так как 12 делится на 3 без остатка (12 = 3 * 4).

Доказательство кратности числа n^3 + 5n

В данной статье мы рассмотрим доказательство кратности числа n^3 + 5n числу 6. Для начала, давайте выразим данное число в виде произведения двух множителей: n^3 + 5n = n(n^2 + 5).

Для доказательства кратности числа n^3 + 5n числу 6, нам нужно показать, что оно делится на 6 без остатка. Мы знаем, что 6 можно представить в виде произведения двух простых чисел: 2 и 3. Поэтому, для доказательства кратности числа n^3 + 5n числу 6, нам нужно показать, что оно делится на 2 и 3 без остатка.

Рассмотрим каждый множитель в выражении n(n^2 + 5) по отдельности.

  1. Множитель n делится на 2 без остатка, так как любое число делится на себя.
  2. Множитель n^2 + 5: чтобы доказать его кратность числу 6, нужно показать, что он делится на 2 и 3 без остатка.

Для доказательства кратности множителя n^2 + 5 числу 2, заметим, что все четные числа можно представить в виде 2k, где k — целое число. Подставив это в выражение, получим: n^2 + 5 = (2k)^2 + 5 = 4k^2 + 5 = 2(2k^2 + 2) + 1. Здесь мы видим, что n^2 + 5 является нечетным числом, так как можно представить в виде 2m + 1, где m = 2k^2 + 2.

Теперь давайте докажем кратность множителя n^2 + 5 числу 3. Для этого, заметим, что сумма цифр числа n^2 будет иметь ту же остаточную часть при делении на 3, что и само число n. То есть, если число n делится на 3 без остатка, то и его квадрат, n^2, также будет делиться на 3. Кроме того, число 5 делится на 3 без остатка.

Итак, мы показали, что множитель n делится на 2 без остатка, а множитель n^2 + 5 является нечетным числом. Таким образом, числу n^3 + 5n можно выразить в виде произведения двух множителей, один из которых делится на 2 без остатка, а другой является нечетным числом. Следовательно, число n^3 + 5n делится на 6 без остатка.

Метод доказательства: математическая индукция

Базовый шаг заключается в проверке истинности утверждения для наименьшего возможного значения переменной. В данном случае нам нужно проверить истинность утверждения для числа 1.

Шаг индукции предполагает, что утверждение верно для некоторого числа k и доказывает его верность для числа k+1.

Для доказательства кратности числа n^3 + 5n числу 6 методом математической индукции, мы должны выполнить следующие шаги:

  1. Проверить базовый шаг: подставить значение n = 1 в выражение n^3 + 5n и проверить, кратно ли получившееся число 6. Если да, то утверждение верно для значения n = 1.
  2. Выполнить шаг индукции: предположить, что утверждение верно для некоторого числа k и доказать его верность для числа k+1.
  3. Показать, что кратность числа n^3 + 5n числу 6 верна для всех натуральных чисел.

Таким образом, применяя метод математической индукции, мы можем доказать, что число n^3 + 5n кратно числу 6 для всех натуральных чисел.

nn^3 + 5n
16 (кратно 6)
k(k^3 + 5k) (предположение)
k+1((k+1)^3 + 5(k+1)) (доказываем)

База индукции: выполняется для n = 0

Следует рассмотреть базу индукции, то есть проверить, выполняется ли равенство для начального значения n = 0.

Подставим ноль вместо переменной n в выражение n^3 + 5n:

0^3 + 5 * 0 = 0 + 0 = 0

Получаем, что значение выражения равно нулю при n = 0. Таким образом, база индукции выполняется.

Предположим, что для произвольного натурального числа k выполняется равенство:

n3 + 5n ≡ 0 (mod 6)

То есть число n3 + 5n делится на 6 без остатка.

Докажем, что из предположения следует выполнение равенства для числа k+1. Для этого рассмотрим выражение:

(k+1)3 + 5(k+1)

Раскроем скобки с помощью формулы (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3:

(k+1)3 + 5(k+1) =

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 5k + 5 =

= k3 + 5k + 6k2 + 6 =

= (k3 + 5k) + 6(k2 + 1)

Из предположения следует, что (k3 + 5k) делится на 6 без остатка. То есть:

(k3 + 5k) ≡ 0 (mod 6)

Также известно, что число k2 + 1 делится на 6 без остатка, так как оно является суммой квадрата некоторого числа и числа 1.

Таким образом, мы получили, что (k3 + 5k) + 6(k2 + 1) делится на 6 без остатка. Значит, равенство выполняется и для числа k+1:

(k+1)3 + 5(k+1) ≡ 0 (mod 6)

Оцените статью